2018年1月14日 星期日

訓練數學感 160 ─ 正因數有多少個?

http://4rdp.blogspot.com/2018/01/160.html

有一正整數 N,它 2 的倍數有 28 個正因數,3 的倍數有 30 個正因數,請問它 6 的倍數有多少個正因數?

舉例來說,假設正整數 N = 4,它 2 的倍數是 8,正因數有 1, 2, 4, 8 四個。
它 3 的倍數是 12,正因數有 1, 2, 3, 4, 6, 12 六個。

這個問題是小朋友學校的數學考題,雖然有高中程度,慢慢想應該可以想通。


12 則留言:

  1. “它2的倍數有28個因數”這句沒看懂。可以解釋一下嗎?

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    1. 已經補充內文加入舉例,希望老師能夠理解。

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  2. 孫老師以程式暴力破解,解答在 http://4rdp.blogspot.tw/2018/01/rosa-46-otto-like.html?showComment=1516167491037#c6851653993359769098

    加分題,這是唯一解嗎?

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    1. 是的!詳細過程明天段考後會貼上來。

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    2. 祝考試順利,期待你的答案。

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    3. (LaTeX編輯)

      令N有n個質因數(ω(N)=n),且標準分解式
      N=2^{a_{1}}\times3^{a_{2}}\times5^{a_{3}}\times...\times p_{n}^{a_{n}}
      其中p_{i}為第n個質因數,a_{i}為p_{i}經過的冪次。

      根據正因數個數的計算公式
      d(2N)=(a_{1}+2)(a_{2}+1)(a_{3}+1)...(a_{n}+1)=28
      d(3N)=(a_{1}+1)(a_{2}+2)(a_{3}+1)...(a_{n}+1)=30
      上下相除。
      \frac{d(2N)}{d(3N)}= \frac{(a_{1}+2)(a_{2}+1)}{(a_{1}+1)(a_{2}+2)}=\frac{28}{30}=\frac{14}{15}
      交叉相乘後強迫因式分解。
      15(a_{1}+2)(a_{2}+1)=14(a_{1}+1)(a_{2}+2)
      a_{1}a_{2}-13a_{1}+16a_{2}+2=0
      (a_{1}+16)(13-a_{2})=210

      顯然兩個括號都是正的,因此探討210的正因數。
      210=210\times1=105\times2=70\times3=42\times5=35\times6=30\times7=21\times10=15\times14=...
      其餘的右乘項會大於左乘項,而a_{1}+16\geq 16>13\geq 13-a_{2},不合。

      計算得
      a_{1}=194\vee 89\vee 54\vee 26\vee 19\vee 14\vee 5\vee -1(-1不合。)
      對應的a_{2}=12\vee 11\vee 10\vee 8 \vee 7 \vee 6\vee 3\vee -1 (-1不合。)
      又由d(2N)及d(3N)可知,a_{1}+2,a_{2}+1為28的因數;a_{1}+1,a_{2}+2為30的因數,將不合者再次剔除,因此
      a_{1}=5
      對應的a_{2}=3
      代回原式
      d(2N)=(7\times4)(a_{3}+1)...(a_{n}+1)=28
      d(3N)=(6\times5)(a_{3}+1)...(a_{n}+1)=30
      得知後面那一串都是1,因此
      a_{3}=a_{4}=a_{5}=...a_{n}=0
      由此可知N=2^{5}\times3^{3}=864。

      N=864,唯一解。

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    4. 我會問是因為題意不清,因數總數,我認為是有包含負因數的。不過,高一前是不討論啦。

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    5. 西瓜謝謝你的詳解,已把標題修正,避免誤會。
      從這個題目給我一個靈感,目前加密是以極大質數處理,總有一天這極大質數會有方法處理,或許可以再加入因數數量計算,增加電腦計算量來加強保護。

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    6. 哈哈,奇奇怪怪的函數還有很多呢。

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    7. 嗯,說得也是,不過有興趣的人還是可以想看看。

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