2017年8月30日 星期三

訓練數學感 145 ─ 三角形角度是多少？

http://4rdp.blogspot.com/2017/08/145.html

ABC 三角形，AP 平分 ∠BAC，BQ 平分 ∠ABC，若 AB+BP=AQ+QB，求角度 θ 及 φ


這題也是數學奧林匹亞特訓班的一年中的題目。即使你解不出這本書任何題目，但是你還是可以當故事書看，推薦給數學愛好者閱讀。

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9 則留言:

  1. .2017年8月31日 晚上10:40

    三角形的邊角關係，此題是由邊求角，最直接是用反三角函數，不過我想應該沒有那麼狠，不然就是特殊角。
    應該要用其他較簡單的性質，像是全等、相似、等腰三角形等。

    目前想到的是，將BP以B為定點旋轉至AB射線上得BP'，BQ以Q為定點旋轉至AC射線上得QB'，連接P'B'，AP'B'就是正三角形。

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    1. Bridan2017年8月31日 晚上11:50

      就先不給提示，這題不簡單，加油。

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  2. .2017年9月1日 晚上8:49

    我決定嘗試看看用反三角函數，先求出答案。

    Consider△ABQ
    ∠AQB=180°-60°-θ=120°-θ

    AB/sin∠AQB=AQ/sin∠ABQ=BQ/sin∠BAQ (Law of sines)
    ⇒AB/sin(120°-θ)=AQ/sinθ=BQ/sin60°
    ⇒AB/sin[180°-(120°-θ)]=AQ/sinθ=2BQ/√3
    ⇒AB/sin(60°+θ)=AQ/sinθ=2BQ/√3

    ⇒AQ=ABsinθ/sin(60°+θ),BQ=√3AB/2sin(60°+θ) /*將AQ,BQ用AB表示。BP亦然。*/

    Consider△ABQ
    ∠APB=180°-30°-2θ=150°-2θ
    AB/sin(∠APB)=BP/sin30° /*題目沒有要用到AP。*/
    ⇒AB/sin(150°-2θ)=2BP
    ⇒AB/sin[180°-(150°-2θ)]=2BP
    ⇒AB/sin(30°+2θ)=2BP

    ⇒BP=AB/2sin(30°+2θ)

    AB+BP=AQ+QB
    ⇒AB+AB/2sin(30°+2θ)=ABsinθ/sin(60°+θ)+√3AB/2sin(60°+θ)
    ⇒1+1/2sin(30°+2θ)=sinθ/sin(60°+θ)+√3/2sin(60°+θ) /*AB消去。*/

    suppose p=sin(60°+θ),q=sin(30°+2θ)
    ⇒1+1/2q=sinθ/p+√3/2p
    ⇒p+p/2q=sinθ+√3/2
    ⇒p/2q=sinθ+√3/2-p

    ⇒q=p/2(sinθ+√3/2-p)

    ∵p=sin60°cosθ+cos60°sinθ=(√3 cosθ+sinθ)/2
    q=sin30°cos2θ+cos30°sin2θ
    =[(1-2sin^2θ)+√3(2sinθcosθ)]/2

    =(1-2sin^2θ+2√3sinθcosθ)/2 (Angle sum identity & Double-angle formula)

    ∴(1-2sin^2θ+2√3sinθcosθ)/2=(√3 cosθ+sinθ)(sinθ+√3/2-p)/4
    ⇒2(1-2sin^2θ+2√3sinθcosθ)=(√3 cosθ+sinθ)(sinθ+√3/2-p) /*分母消去。*/
    ⇒2-4sin^2θ+4√3sinθcosθ=√3 sinθcosθ+3/2cosθ-√3 cosθp+sin^2θ+√3sinθ/2-sinθp
    ⇒2-5sin^2θ+3√3 sinθcosθ=3/2cosθ+√3sinθ/2-p(√3 cosθ+sinθ)
    ⇒2-5sin^2θ+3√3 sinθcosθ-3/2cosθ-√3sinθ/2=-(√3 cosθ+sinθ)^2/2 /*再次將p代入。*/
    ⇒2-5sin^2θ+3√3 sinθcosθ-3/2cosθ-√3sinθ/2=-(3cos^2θ+sin^2θ+2√3sinθcosθ)/2
    ⇒4-10sin^2θ+6√3 sinθcosθ-3cosθ-2√3sinθ=-3cos^2θ-sin^2θ-2√3sinθcosθ /*去分母拆括號整併*/
    ⇒4-9sin^2θ+3cos^2θ+8√3 sinθcosθ-3cosθ-2√3sinθ=0
    ⇒-9sin^2θ+3cos^2θ-2√3sinθ+4=(-8√3sinθ+3)cosθ /*將有cosθ的移到另一邊*/

    suppose x=sinθ
    ⇒-9x^2+3(1-x^2)-2√3x+4=(-8√3x +3)sqrt(1-x^2)
    ⇒-9x^2-3x^2-2√3x+7=(-8√3x +3)sqrt(1-x^2)
    ⇒(-12x^2+7-2√3x)^2=(-8√3x +3)^2x^2(1-x^2)

    得x實數解，0.52352278392869517237,0.82070740188348413395
    θ=arcsinx=31.568850928691246092°,55.155670212047931384°

    應該是哪裡出錯了!我不太相信這個答案。

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    1. Bridan2017年9月1日 晚上9:58

      推算過程錯誤在 ∴(1-2sin^2θ+2√3sinθcosθ)/2=(√3 cosθ+sinθ)(sinθ+√3/2-p)/4 這個列式
      更正後答案應該呼之欲出，加油

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    2. .2017年9月1日 晚上10:22

      啊!有時候分母沒有用括號整合起來，很容易看錯。
      算出來θ=arcsinx=60°或40°，60°不成三角形不合。
      所以是40度。

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    3. .2017年9月1日 晚上10:25

      設內心I，解題策略應該是
      三角形ABP~三角形AQI。證明方法再想想好了。

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    4. Bridan2017年9月2日 上午10:55

      40 度正解，這題應該有好幾種解法，相似三角形可以試看看。

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  3. .2017年9月11日 晚上11:30

    http://pisa.math.ntnu.edu.tw/files/IMO/2001_cht_s.pdf
    http://www.sec.ntnu.edu.tw/Monthly/90(241-245)/243/57-62.pdf

    這是當年的競賽解析。沒想到起步竟然與我的方法相同!不過常常不用尺規把圖畫好，導致沒能看出「共線」的關鍵步驟。至少，又學到了一課!

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    1. Bridan2017年9月11日 晚上11:58

      你真會找資料，謝謝補充專家的解析，嗯，準確的作圖，有時確實會有意外的資訊可以利用。

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