2016年9月14日 星期三

訓練數學感 113 ─ 最小次方

http://4rdp.blogspot.com/2016/09/113.html



m、n 皆為自然數,求最小的 n,可以產生一個平方數。

這題是小朋友考我的,他花十分鐘解出,而我約花八分鐘解出,解題時建議不要用計算機以及筆算,這樣比較容易想出解法。

7 則留言:

  1. 把加法變成兩個數相乘,類似因式分解的化簡,然後再進行開方。很快就可以解出來了。
    答案先不透漏。

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    1. 是啊,想想看怎樣提出共同項,讓等式左邊可以兩項相加,是能夠開根號成為整數。

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  2. 3^7 = 3*3^(3*2)
    3+1 = 4 = 2^2
    故n = 6 一定行;以下是小於六的情況,
    3^3+1 = 28 (不行)
    3^5+1 = 244 (不行)

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    1. n = 6 正解。
      加分題,除了 6 以外還有其它答案嗎?

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  3. (沒有其他答案了。
    將題目3^7提出
    3^7(1+3^(n-7))=m^2
    1+3^(n-7)=u^2/3^v v為奇數,u為非負整數
    1+1/3^(7-n)=u^2/3^v
    (3^(7-n)+1)/3^(7-n)=u^2/3^v 由此可以知道n是偶數
    不妨令v=7-n
    [3^(7-n)+1]/3^(7-n)=u^2/3^(7-n)
    3^(7-n)=u^2-1
    n和u的非負整數解就是此題答案
    n=6,u=2是一組

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    1. 通解
      n=7-log3(u^2-1)
      n,u為非負整數(其實u為負好像也可以)

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    2. 西瓜中秋快樂,謝謝你以 n=7-log3(u^2-1) 證明沒有比七還大的解。

      進階題,找數列
      a^n+a^7 = m^2,a=0,1,2,3,...
      求最小的整數 n,可以產生整數平方項。

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