在訓練數學感 35 曾出過一個尋找偽幣的考題,今天提出姊妹題:
有十疊銅板,每疊各有十枚相同的銅板,但是只有一疊全是偽幣,已知真銅板每個重 8 g,而假的每個重 7 g,有一個電子秤能量一公斤物品,解析度達 0.1 g。
試問能不能只秤一次就可以指出偽幣在那堆,最少需要秤幾個銅板?
知能的增長,來自生活問題的解決。
【Android】畫在屏幕上Draw on Screen
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draw on screen是一個我一直需要但是沒去找的軟體,它可以跟Screenshot
easy結合使用。雖然這兩個軟體都可能有廣告,但是我們可以完美避開廣告。
藉助這個軟體,我們可以在任意時刻在屏幕上亂塗亂畫,同時也可以在操作手機時把這些畫留在屏上。
1 天前
分別取出硬幣,共55枚,然後一起秤重。
回覆刪除第一疊:1枚
第二疊:2枚
...
第十疊:10枚
秤得439g => 第一堆為疊幣
秤得438g => 第二堆為疊幣
...
秤得430g => 第十堆為疊幣
嗯,方法正確,但不是最佳解。
刪除難道是分別取出硬幣,共45枚,然後一起秤重。
刪除第一疊:1枚
第二疊:2枚
...
第九疊:9枚
第十疊:不取
秤得359g => 第一疊偽幣
秤得358g => 第二疊偽幣
...
秤得351g => 第九疊偽幣
秤得360g => 第十疊偽幣
是的,第十堆不取,秤重量最小。
刪除最少秤19個就可以了
刪除雖機挑一疊出來,剩下的九疊各取一個
假設這 19 枚測得 151 公克,請問能告訴我它在哪一堆?
刪除擴展一下,
回覆刪除如果可以秤量多於一次的話,
最小秤量硬幣枚數為:
2+4+2+1=9枚(4次秤量)
7+3+3=13枚(3次秤量)
12+6=18枚(2次秤量)
超過4次秤量次數,最小的秤量枚數也都是9枚。
能否進一步說明,取樣的方法?
刪除如果秤量次數可以多於一次的話,我第一個想到的是:
刪除不妨每堆取1枚,秤1次,這樣秤9枚硬幣,
共秤9次就可以分辨出哪一堆是僞幣。
4次秤量也是由此簡化而來的,還是每堆抽1枚,
第一次秤量2枚,第二次秤量剩下8枚中的4枚,
第三次秤量剩下4枚中的2枚,最後秤其中1枚。
給這種秤量方法起個名字,不妨叫做“二分法”。
所以秤4次,就是2+4+2+1 = 9枚。
秤4次的話,還有另外兩種秤量次序。由於都是和共9枚,不再贅述。
3次秤量,每堆取1枚已經做不到了,原因是2^3 = 8 < 10
需要按照下面方法取:
1-2-1-1-1-1-1-1-2-1
其中取1枚的共有8堆,其餘取2。因爲2^3 = 8。
先秤量前面的1-2-1-1-1,如果僞幣在其中,
則可根據其奇偶性可以輕易判斷僞幣位置;
如果不在,那就取剩下的1-1秤,在的話同上,
不在的話再取剩下的1-2秤,就一定能確定僞幣位置了。
最小秤量枚數:6+2+3 = 11枚(之前13枚為誤算)。
2次秤量同理,只是分類方法是:
1-2-3-1-2-3-1-2-3-1
因爲2^2 = 4,所以取1枚的最多只能有4堆。
秤量方法同理。
秤量次數和枚數的關係列表如下:
刪除1……45
2……18
3……11
4……9
第一次多秤,減少了45-18 = 27枚;
再多秤一次,又減少18-11 = 7枚;
又多秤一次,再減少11-9 = 2枚;
最後直到秤9次,減少枚數均為0枚;
第10次往後,秤重枚數反而會每次增加1枚(因爲做了重復秤重)。
這讓我聯想到了邊際收益遞減定律,
我找到了一篇很有意思的文章,分享如下:
http://www2.nsysu.edu.tw/debate/images/5-3.html
這真是很棒的補充,謝謝你給這麼詳盡的說明,我想很難再有其它地方能有這麼高水準的討論。
刪除哎呀,過譽了~
刪除是因為你的題目開得好啊~~哈哈~
希望您能繼續把這個Blog做大做強呀~
一道很簡單的題目,也可以引申出很多東西。
我一直這樣認爲。
就像上次給小朋友猜謎語,前兩個猜完,大家紛紛表示早聽過了。
“草原上來了一群羊。猜一種植物。”“草莓(沒)!”
“又來了一只狼。”“楊梅!”“好無聊,都聽過了。”
後面兩個大家沒聽過,就猜不出來了。
前面說“好無聊”的小朋友也瞪大眼睛表示驚奇。
“那你接著聽喲~又來了一只熊。猜一種植物”“咦?”“怎麽沒聽過?”
“又來了一只熊。這次猜一個成語。”“啊!?同一個題目還能猜成語?!”
以後我再講故事,大家再也不急於說“聽過了”,或者“好無聊”之類的。
因爲……後面總會有驚喜~~哈哈
後面兩題放在這裡你也猜猜看,輕鬆一下~
Linke 你客氣了,多謝你的鼓勵,我會繼續努力蒐集更多有趣的題目,以饗喜歡思考的讀者,目前預估喜歡這個單元的固定讀者應該有百餘人,假以時日並控制好文章品質,一定還會繼續吸納更多人前來。
刪除大多數的網站題目出來後,只等你答案對或錯,我不希望大家是這樣互動,會成立這個數學單元,是我發現有些讀者想精進數學能力但苦無方法,所以我想出以趣味題目,讓大家無壓力的練習思考,久而久之會培養出思考的能力,而這能力也是研發工程師最需要的基本能力之一。
關於你的謎語,依據草莓、楊梅的次序,接著應該是 藍莓 (狼沒)、熊沒 的答案,而成語還得想想。
是啊,許多熟知的東西,經過淬鍊引申,仍然可以有很多變化,趣味無窮。
第三個其實是“狼桃”,就是番茄的舊稱。
刪除因爲他們剛好學到這篇課文——《從狼桃到番茄》。
不過藍莓的答案也不錯呀~
第四個成語,由於學校裏除中文外,其它科目都用英文作爲教學語言,所以跟英文發音有關。(笑)
仔細想來,脫離了小朋友的學習背景,確實挺難猜的。
歐,原來番茄又稱為狼桃,又學到新知 http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%95%AA%E8%8C%84,謝謝你。
刪除第四個答案,成語應是「狼狽(bear)為奸」,沒有你的提示,想破頭也想不出來。(哈)
可是狼已經“逃”了,怎麽“為奸”呢?
刪除思考方向是正確的,跟Bear有關。
那這真的很難,現在只想到:背信忘義、人才輩出,
刪除想不出來就:倍感壓力、非常疲憊。 *_* (苦)
其實是你想太多啦……
刪除有一隻bear走過來,有一隻bear過來,有隻bear過來,有隻bear來,有bear來……
有備而來。(笑)
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