腳踏車的力學模式 (The Force Model Of Bike During Turning)

http://4rdp.blogspot.com/2010/07/force-model-of-bike.html

為了研究 Segway 力學模式，查了一些資料，看到一篇對腳踏車力學模式的報導，提及腳踏車的數學模式非常複雜超乎想像，對此心有戚戚焉，因為我在構思 Segway 時，參考以前物理課本對腳踏車數學模式計算，覺得公式怪怪的。

課本的內容如下：
一人騎腳踏車以 4米 / 秒之速度繞過一彎路，此人讓車與地面傾斜53度角，人與車全重為80 kg，合併重心與輪胎著地點之距離為 1.2米，問轉彎半徑為若干？車胎與地面間的摩擦力多大？


假設人車總重為 mg，地面與車胎間之摩擦係數為 μ，地面施於輪胎之正向力為 N，重心與輪胎著地點之距離為 h，由此可得下列平衡條件：

Σ Fx = mV² / R = μN，人車向心力與地面摩擦力相等。
Σ Fy = N - mg = 0
Σ L = N(h sinθ) - μN(h cosθ) = 0，以重心為轉軸。

由 Σ Fy 式得 N = mg
由 Σ L 式得 μ = tan θ
將這兩式代入 Σ Fx 得 tan θ = V² / gR，依課文數據計算

θ = 90 - 53 = 37
V = 4 米 / 秒
g = 9.8 米 / 秒²

得 R = V² / (g tan θ) = 2.2 米，人車重心之曲線半徑。
重心與輪胎著地點之距離為 h sin θ = 0.72 米
因此，輪胎著地點起算的迴轉半徑為 2.2 + 0.72 = 2.92 米

車胎與地面摩擦力為 μN = mg tan θ = 80 x 9.8 x 0.75 = 588 牛頓



我對這個解答的困惑在於，它把人車整個視為一個剛體，不計算車身分力情形。這樣的分析方法跟我在 Segway 力學模式一文所用的方法不同。以下是用我的方法推導：

f₁₂ = mg cosθ
f₁₃ = f₁₂ sinθ
f₁₄ = f₁₂ cosθ = mg cos²θ = (m cos²θ)g = N，正向力
f_c = (m cos²θ) V² / R，向心力



Σ Fx = f_c - f₁₃ ± μf₁₄ = 0
Σ Fy = N - f₁₄ = 0
Σ L = N(h sinθ) + f_c(h sinθ) - μN(h cosθ) = 0

請注意，我使用 ± 符號，那是因為不清楚向心力 f_c 還是分力 f₁₃ 比較大，這會決定摩擦力 μN 的方向，+ 號表示向心力較大。

由 Σ L = 0 可推得
(m cos²θ)g(h sinθ) + (h sinθ)(m cos²θ) V² / R - μ(m cos²θ)g(h cosθ) = 0
g tanθ + tanθ V² / R - μg = 0
μ = tanθ (1 + V² / gR) ..... (1)

將 Σ Fy 代入 Σ Fx 可推得
f₁₃ ± μN = f_c
mg sinθcosθ ± μmg cos²θ = (m cos²θ) V² / R
g sinθ ± μg cosθ = cosθ V² / R
R = cosθ V² / (sinθ ± μcosθ)g = V² / (tanθ ± μ)g ..... (2)

把 (2) 式代入 (1) 式可得
μ = tanθ (1 + V² / gR) = tanθ (tanθ ± μ) = tan²θ (1 ± tanθ)
因此 μ = 0.984 (向心力大) or 0.141 (向心力小)

當 μ = 0.141，摩擦力 μN = μ(m cos²θ)g = 0.141 x (80 x 0.8²) x 9.8 = 70.75 牛頓
利用 (1) 式反算
R = V² / g(μ / tanθ - 1) = 16 / 9.8(0.984 / 0.75 -1) = -2.01 米，向心力小為不合理的解答。

當 μ = 0.984，摩擦力 μN = μ(m cos²θ)g = 0.984 x (80 x 0.8²) x 9.8 = 493.73 牛頓
R = V² / g(μ / tanθ - 1) = 16 / 9.8(0.984 / 0.75 -1) = 5.23 米，向心力大為合理的解答。


希望有物理力學的專家給予指導，何者正確？

延伸閱讀：腳踏車的力學模式 二 (The Force Model of Bike During Turning, Part 2)