腳踏車的力學模式 二 (The Force Model of Bike During Turning, Part 2)

http://4rdp.blogspot.com/2017/03/force-model-of-bike-during-turning-part.html

近日剛加入 FB 物理同好會社團，並貼文請教以前一篇腳踏車力學模式問題，感謝社團的老師及高手們指導，讓我重新思考這個問題，本文就修正後再貼文，以前舊文仍保留比較參考，我對許多學問的理性追求，採取獨立思考研究，或許方法有錯誤，只要發現就改正，一天比一天進步就好。

言歸正傳，先看以前物理課本對腳踏車數學模式計算，覺得公式怪怪的。

課本的內容如下：
一人騎腳踏車以 4米 / 秒之速度繞過一彎路，此人讓車與地面傾斜53度角，人與車全重為80 kg，合併重心與輪胎著地點之距離為 1.2米，問轉彎半徑為若干？車胎與地面間的摩擦力多大？

假設人車總重為 mg，地面與車胎間之摩擦係數為 μ，地面施於輪胎之正向力為 N，重心與輪胎著地點之距離為 h，由此可得下列平衡條件：

Σ Fx = mV² / R = μN，人車向心力與地面摩擦力相等。
Σ Fy = N - mg = 0
Σ L = N(h sinθ) - μN(h cosθ) = 0，以重心為轉軸。

由 Σ Fy 式得 N = mg
由 Σ L 式得 μ = tan θ
將這兩式代入 Σ Fx 得 tan θ = V² / gR，依課文數據計算

θ = 90 - 53 = 37 度
V = 4 米 / 秒
g = 9.8 米 / 秒²

得 R = V² / (g tan θ) = 2.2 米，人車重心之曲線半徑。
重心與輪胎著地點之距離為 h sin θ = 0.72 米
因此，輪胎著地點起算的迴轉半徑為 2.2 + 0.72 = 2.92 米

車胎與地面摩擦力為 μN = mg tan θ = 80 x 9.8 x 0.75 = 588 牛頓



我對這個解答的困惑在於，傾斜的車身它的正向力大小應該不到 mg。因此推導方法修改成：

Σ Fx = mV² / R = μN ，人車向心力與地面摩擦力相等。
Σ Fy = N - kmg = 0 ，這個 k 係數介於 0 ~ 1 之間，使正向力小於 mg。
Σ L = N(h sinθ) - μN(h cosθ) = 0 ，以重心為轉軸。

由 Σ Fy 式得 N = kmg
由 Σ L 式得 μ = tan θ
將這兩式代入 Σ Fx 得 k(tan θ) = V² / gR，依課文數據計算

θ = 90 - 53 = 37 度
V = 4 米 / 秒
g = 9.8 米 / 秒²

得 kR = V² / (g tan θ) = 2.2 米，人車重心之曲線半徑。
重心與輪胎著地點之距離為 h sin θ = 0.72 米
假設 k = cos θ = 0.8
因此，輪胎著地點起算的迴轉半徑為 2.2/0.8 + 0.72 = 3.47 米

車胎與地面摩擦力為 μN = kmg tan θ = 0.8 x 80 x 9.8 x 0.75 = 470.4 牛頓

剩下的問題，該如何求解 k 值或是證明 k = cos θ

延伸閱讀：
腳踏車的力學模式 二 FB 討論串
腳踏車的力學模式 三