2~13 因數判別

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因數分解，這問題從小學高年級生到數學家都在研究，學生研究目的主要是如何快速解題，而數學家是要尋找質數規則，並把它應用在資料加密上。

最近小朋友問我公因數問題，上網查了常見因數判別法，許多人列出判別方法，但是沒有解說其原理，因此在此補充說明。

二倍數，個位數字為 2、4、6、8、0等偶數，2 x 5 = 10，每五次一循環是十的倍數，這偶數特性很容易辨識。

三倍數，各個數字和為3的倍數。假設有—四位數 ABCD 分別代表每個位數數字，這數值可表示為
1000A+100B+10C+D = (999+1)A+(99+1)B+(9+1)C+D，因此可利用 A+B+C+D 判別是否為 3 倍數。

四倍數，末二位數為4的倍數。4 x 25 = 100，每25次一循環是100的倍數。

五倍數，個位數字為5或0，5 x 2 = 10，每兩次一循環是10的倍數。

六倍數，同時是2和3的倍數。

七倍數，由個數起每三位數字一節，各奇數節與偶數節的和相減，其差是7的倍數 (含0)。7 x 11 x 13 = 1001， 假設有一個十二位數 ABCD，每個代號表示 000～999 獨立數值，這數值可表示為 1000000000A+1000000B+1000C+D = (1000000001-1)A+(999999+1)B+(1001-1)C+D = (999001x1001-1)A+(999x1001+1)B+(1001-1)C+D，因此可利用 -A+B-C+D 判別是否為 7 倍數。

八倍數，末三位數為8的倍數，8 x 125 = 1000，每125次一循環是1000的倍數。

九倍數，各個數字和為9的倍數。假設有—四位數 ABCD 分別代表每個位數數字，這數值可表示為 1000A+100B+10C+D = (999+1)A+(99+1)B+(9+1)C+D，因此可利用 A+B+C+D 判別是否為 9 倍數。

十倍數，個位數字為0，理由顯而易見，10 x 1 = 10，這是十的倍數。

十—倍數，奇數位數字和與偶數位數字和相差為 11 的倍數 (含0)。假設有—四位數 ABCD 分別代表每個位數數字，這數值可表示為 1000A+100B+10C+D = (1001-1)A+(99+1)B+(11-1)C+D，因此可利用 -A+B-C+D 判別是否為 11 倍數。

十二倍數，同時是3和4的倍數。

十三倍數，由個數起每三位數字一 節，各奇數節與偶數節的和相減， 其差是13的倍數 (含0)。7 x 11 x 13 = 1001， 假設有一個十二位數 ABCD，每個代號表示 000～999 獨立數值，這數值可表示為 1000000000A+1000000B+1000C+D = (1000000001-1)A+(999999+1)B+(1001-1)C+D = (999001x1001-1)A+(999x1001+1)B+(1001-1)C+D，因此可利用 -A+B-C+D 判別是否為 13 倍數。

延伸閱讀

快速判別 7, 11, 13, 17, 19 倍數 ─ 李永樂老師視頻