2011年10月15日 星期六

訓練數學感 4 ─ 尋找平衡點

http://4rdp.blogspot.com/2011/10/blog-post_15.html

這是以前遇過的設計問題，要讓系統重心平衡，有三個同心圓，半徑分別為 r1 ＞ r2 ＞ r3，有 ABC 三點，分為在這三圓上，求如何安排這三點位置，讓系統重心與同心圓圓心相重疊。

假設
r1 = 70，r2 = 50，r3 = 40，A 座標 (70, 0)，求 BC 兩點座標？

高中以上程度，應該有能力解題，留給有興趣的人動腦筋。

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6 則留言:

  1. 匿名2015年3月3日 凌晨12:32

    B( -290 / 7 , +80 sqrt(6) / 7 ) ,
    C( -200 / 7 , -80 sqrt(6) / 7 )

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    1. Bridan2015年3月3日 上午8:39

      正解，不知你是用何方法求出?另外，願意留下大名嗎？

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  2. 匿名2015年3月4日 晚上10:46

    夫子，我是用向量(vector)來算的。
    Let OA be a, OB be b, and OC be c.(all a,b,c are vector!)
    Let the position vector of center of mass be OG
    As this triangle is uniform, OG = (a+b+c)/3 (theory)
    Thus, for fulfilling question, a+b+c = 0
    if b = bx * i + by * j,
    c = cx * i + cy * j.
    a = ax * i

    so we have
    bx ^2 + by ^2 = 50 ^2
    cx ^2 + cy ^2 = 40 ^2
    bx + cx + ax = 0
    by + cy = 0

    By solving those system of equation, we have
    (bx, by) = ( -290 / 7 , +80 sqrt(6) / 7 )
    (cx, cy) = ( -200 / 7 , -80 sqrt(6) / 7 )

    Sorry for typing English rather than Chinese.
    If I have time, I will retype it by Chinese.

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    1. Bridan2015年3月4日 晚上11:44

      You are welcome.
      That's OK for writing in English.

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  3. 匿名2015年3月5日 晚上11:27

    華人根華人說話，不應該用外語。
    以下是更正版：

    設向量OA為a，向量Ob為b，向量OC為c。
    (註，a,b,c都是向量)

    設三角形形心(重心)的位置向量(向徑)為OG

    由於三角形是均勻的，所以OG = (a+b+c)/3

    而另一方面，題目要求重心在原點，所以得出 a+b+c = 0
    設 b = bx * i + by * j,
    設 c = cx * i + cy * j.
    設 a = ax * i

    所以
    bx ^2 + by ^2 = 50 ^2
    cx ^2 + cy ^2 = 40 ^2
    bx + cx + ax = 0
    by + cy = 0

    解以上方程組，可得
    (bx, by) = ( -290 / 7 , +80 sqrt(6) / 7 )
    (cx, cy) = ( -200 / 7 , -80 sqrt(6) / 7 )

    就是這樣了。

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    1. Bridan2015年3月6日 清晨7:45

      嗯，四個方程式，四個變數，以第三及第四式代入一、二式，即可求解。

      你是學生嗎？

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