快速估算根號近似值

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這裡舉一個根號速算的例子

$\sqrt{93}=9.64365076\cdots$

我們套用下列步驟計算

一、找一個接近原數的平方數

$81=9^{2}=a^{2}$

$\Rightarrow a=9$

二、計算原數與平方數之間的差值

$b=93-81=12$

三、代公式 $\sqrt{x}=a+\frac{b}{2a}$

$\sqrt{93}\approx 9+\frac{12}{2\times 9} =9.6 $

四、可重複迭代步驟一到三，求更精確數值

$92.16=9.6^{2}=a^{2}$

$b=93-92.16=0.84$

$\sqrt{93}\approx 9.6+\frac{0.84}{2\times 9.6}= 9.64375\cdots$

其計算的原理

$x=a^{2}+b$

$x-a^{2}=b$

$(\sqrt{x}+a)(\sqrt{x}-a)=b$

$\sqrt{x}-a=\frac{b}{\sqrt{x}+a}$

$\sqrt{x}=a+\frac{b}{\sqrt{x}+a}$

$\sqrt{x}=a+\frac{b}{a+\sqrt{x}}$

$\sqrt{x}=a+\frac{b}{a+a+\frac{b}{a+a+\frac{b}{\cdots}}}$

$\sqrt{x}=a+\frac{b}{2a+\frac{b}{2a+\frac{b}{\cdots}}}$

$\Rightarrow \sqrt{x}=a+\frac{b}{2a+\cdots}$

2008 年我有一篇開根號求解，講述兩種不同方法解根號，本文算是第三種方法。