2018年4月28日 星期六

訓練數學感 172 ─ 鋪地磚至少需要幾塊 1x1？

http://4rdp.blogspot.com/2018/04/172-1x1.html

「舖地磚」的圖片搜尋結果

有個房間地面 23 x 23 單位面積，利用 1x1、2x2、3x3 的正方形磁磚鋪滿，請問 1x1 磁磚最少要用幾塊？



這題目來自小朋友學校的資優挑戰題，看似簡單，應有高二程度。

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6 則留言:

  1. .2018年4月28日 下午5:16

    依直覺來排的話，大概就是先把3x3填滿，留下L狀的空間填2x2，這樣1x1最少可以只剩四塊。
    不過感覺還可以更少，不禁令人起疑。

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    1. Bridan2018年4月28日 晚上10:33

      地磚排列方式不只一種，目前我排出來也是剩四個 1x1。最佳解就是把它轉化成一個 2x2替代，就可以不用 1x1，不過這可能嗎?

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    2. flyingdusts2018年4月30日 下午6:38

      我提一個剩1塊的思路。
      https://lh6.ggpht.com/-hqHG5k-8Xp8/UVE3WEHo9VI/AAAAAAAAG2A/J5iMWnXrB2I/s400/14_2_39.png
      類似第三圖
      用四個同樣的矩形先組成正方形的四個邊角，中間留下一塊正方形，務必令該正方形盡可能小。
      根據所給正方形面積，可計算每個矩形面積為
      (23*23-1)/4 = 132
      132 = 2*2*3*11
      令該正方形盡可能小時，長和寬需要盡可能接近
      用這4個數字組成的符合要求的長寬為11和12，僅差1
      用這樣的矩形組成正方形時，中間只差1塊1x1的小正方形。
      到這裡，還忽略了一個問題，我們能否用2x2和3x3組成11x12的矩形，
      用2x2和3x3組成的最小矩形是5x6，因爲6是23的最小公倍數，
      所以用3個2x2和2個3x3就可組成5x6這個矩形。到此整個矩形還剩下6x6的部分。
      我們用4個3x3填滿它就好了。
      至此，我們用了3個2x2和6個3x3組成了一個小矩形，這樣的矩形需要4個，
      所以共需要12個2x2和24個3x3，剩下的部分用1個1x1填滿就好。

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    3. flyingdusts2018年4月30日 下午6:46

      接下來不用1x1的方法就呼之欲出了。
      不用1x1，還要保證被23x23=529減去之後能整除4，
      那就剩下一塊3x3好了。
      每塊矩形面積為 (529-3x3)/4 = 130
      130 = 10x13
      哇！長和寬剛好差3！快要成功了！加油！

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    4. flyingdusts2018年4月30日 下午6:56

      但13或10並不能被6整除，所以只好作罷。
      要回家了，突然發現上面計算有很多錯……雖然結果是對的……
      勘誤
      所以用3個2x2和2個3x3就可組成5x6這個矩形。到此半個矩形還剩下6x6的部分。
      我們用4個3x3填滿它就組成了半個矩形，乘以2就有了整個矩形，
      至此，我們用了6個2x2和12個3x3組成了一個小矩形，這樣的矩形需要4個，
      所以共需要24個2x2和48個3x3，剩下的部分用1個1x1填滿就好。

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    5. Bridan2018年4月30日 晚上9:29

      謝謝老師提供一個 1x1 的解法，至於不用 1x1 的方法，這需要再思考，直覺應該不是四個等大小的 13x10 矩形圍在外邊。

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