訓練數學感 123 ─ 尋找函數最高次方

設 f 是三次連續可微的實函數，且對所有 a, h 都有 f(a+h) = f(a) + hf'(a+h/2)
證 f 是多項式，並找出它的最多可能次方。


簡單說，它至少可以三次微分，求符合 f (a+h) = f(a) + hf'(a+h/2) 條件，然後找出它的最多可能次方。

提示，三次微分後是一個連續的函數，但不再確保可微。
題目由網友 z423x5c6 提供。