2017年9月15日 星期五

訓練數學感 147 ─ 平均數

一個自然數的等差級數和 1+2+3+ ... + N,從這數列去除一個數後,其平均數為 15.25,請問 N 多少?被去除的數多少?



若 S = 1+2+3+ ... + X + ... + N,則 (S - X) / (N - 1) = 15.25,題目是小朋友學校的課外考題,感覺沒有特別驚人之處,只是讓大家腦筋動一動。

11 則留言:

  1. N=29, X=8, 但自知方法不好, 先用平均值15.25來找出N的範圍落在27~33 再一個一個代入, 花了蠻多時間, 想知道更好的方法

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  2. 更正 用去頭去尾法各別算出平均值(以代數表示) 15.25前後做夾集 找出N=29 或30 再各別帶入計算一次而求得

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  3. [(1+N)N/2 -X]/(N-1)=15.25
    (1+N)N/2 -X=15.25(N-1)
    (1+N)2N-4X=61(N-1)
    2N^2+2N-4X=61N-61
    2N^2-59N+61=4X
    左式必須是四的倍數。經討論,得N必為奇數。以N=2n+1代入,n為正整數
    2(2n+1)^2-59(2n+1)+61=4X
    8n^2+8n+2-118n-59+61=4X
    8n^2-110n+4=4x
    因為是4的倍數,得知n必為偶數,另n=2a,a為正整數。

    N=4a+1
    X=8a^2-55a+1 (上式可得)
    由題知1a<55/8 得a=7
    代入,可知N=29, X=8。

    傳統的丟番圖分析!想必學校可能有更快的解法,不過這樣咀嚼,也別有風味。

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    1. 倒數第四行後,有一些文字跑掉了。
      "由題知1<X<=N,
      1<8a^2-55a+1<=4a+1
      解之,得59/8<=a<55/8 得a=7"

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  4. 謝謝西瓜的詳解,過程清楚條列不簡單,學校的方法我不清楚,但我是求 2N^2-59N+(61-4X) = 0,代公式找整數解。

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  5. 我提一個數列的思路:
    已知 A = (S - X) / (N - 1) = 15.25,
    那麽找出 當A出現.25時, N 與 X 的關係即可。
    列舉前幾項如下,
    X=2,N=5,A=3.25
    X=3,N=9,A=5.25
    X=4,N=13,A=7.25
    X=5,N=17,A=9.25
    ......
    以上可推出,
    A=15.25時,X=8,N=29
    規律如下,
    X為由2開始,以1為公差的等差數列;
    A為以3.25開始,以2為公差的等差數列;
    N = 4X - 3
    A的整數部分AI = 2X - 1
    故,已知A = 15.25, 求N和X,代入上式
    15 = 2X -1
    求得X = 8,
    N = 4 * 8 -3 = 29
    解畢
    -------------------
    這個方法的好處是不怕數字再大,都可以迅速解出。
    例如,已知A = 99.25,求 X 和 N

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    1. 老師太厲害了,找出通解式子。老師的考題就留給網友們解答。

      加分題,求 A 小數為 .333... 的通解。

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    2. 這個加分題比較刁鑽,部分情況有兩個解。
      不過第二個解的出現也是有規律的。
      我也不細說了,留給網友們試試吧。

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    3. 嗯,二次式會有兩個解這並不奇怪,給有興趣的朋友繼續研究。

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    4. 但之前.25只能找出一個解。為什麼呢?

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    5. 二次式可能有負數解,那就只有一個解,看來 .25 可能有另外的通解,只是我們沒有認真找。

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