三角形的邊角關係，此題是由邊求角，最直接是用反三角函數，不過我想應該沒有那麼狠，不然就是特殊角。應該要用其他較簡單的性質，像是全等、相似、等腰三角形等。目前想到的是，將BP以B為定點旋轉至AB射線上得BP'，BQ以Q為定點旋轉至AC射線上得QB'，連接P'B'，AP'B'就是正三角形。
就先不給提示，這題不簡單，加油。
我決定嘗試看看用反三角函數，先求出答案。Consider△ABQ∠AQB=180°-60°-θ=120°-θAB/sin∠AQB=AQ/sin∠ABQ=BQ/sin∠BAQ (Law of sines)⇒AB/sin(120°-θ)=AQ/sinθ=BQ/sin60°⇒AB/sin[180°-(120°-θ)]=AQ/sinθ=2BQ/√3 ⇒AB/sin(60°+θ)=AQ/sinθ=2BQ/√3 ⇒AQ=ABsinθ/sin(60°+θ),BQ=√3AB/2sin(60°+θ) /*將AQ,BQ用AB表示。BP亦然。*/Consider△ABQ∠APB=180°-30°-2θ=150°-2θAB/sin(∠APB)=BP/sin30° /*題目沒有要用到AP。*/⇒AB/sin(150°-2θ)=2BP⇒AB/sin[180°-(150°-2θ)]=2BP⇒AB/sin(30°+2θ)=2BP⇒BP=AB/2sin(30°+2θ)AB+BP=AQ+QB⇒AB+AB/2sin(30°+2θ)=ABsinθ/sin(60°+θ)+√3AB/2sin(60°+θ)⇒1+1/2sin(30°+2θ)=sinθ/sin(60°+θ)+√3/2sin(60°+θ) /*AB消去。*/suppose p=sin(60°+θ),q=sin(30°+2θ)⇒1+1/2q=sinθ/p+√3/2p⇒p+p/2q=sinθ+√3/2⇒p/2q=sinθ+√3/2-p⇒q=p/2(sinθ+√3/2-p)∵p=sin60°cosθ+cos60°sinθ=(√3 cosθ+sinθ)/2 q=sin30°cos2θ+cos30°sin2θ=[(1-2sin^2θ)+√3(2sinθcosθ)]/2=(1-2sin^2θ+2√3sinθcosθ)/2 (Angle sum identity & Double-angle formula)∴(1-2sin^2θ+2√3sinθcosθ)/2=(√3 cosθ+sinθ)(sinθ+√3/2-p)/4⇒2(1-2sin^2θ+2√3sinθcosθ)=(√3 cosθ+sinθ)(sinθ+√3/2-p) /*分母消去。*/⇒2-4sin^2θ+4√3sinθcosθ=√3 sinθcosθ+3/2cosθ-√3 cosθp+sin^2θ+√3sinθ/2-sinθp ⇒2-5sin^2θ+3√3 sinθcosθ=3/2cosθ+√3sinθ/2-p(√3 cosθ+sinθ)⇒2-5sin^2θ+3√3 sinθcosθ-3/2cosθ-√3sinθ/2=-(√3 cosθ+sinθ)^2/2 /*再次將p代入。*/⇒2-5sin^2θ+3√3 sinθcosθ-3/2cosθ-√3sinθ/2=-(3cos^2θ+sin^2θ+2√3sinθcosθ)/2⇒4-10sin^2θ+6√3 sinθcosθ-3cosθ-2√3sinθ=-3cos^2θ-sin^2θ-2√3sinθcosθ /*去分母拆括號整併*/⇒4-9sin^2θ+3cos^2θ+8√3 sinθcosθ-3cosθ-2√3sinθ=0⇒-9sin^2θ+3cos^2θ-2√3sinθ+4=(-8√3sinθ+3)cosθ /*將有cosθ的移到另一邊*/suppose x=sinθ⇒-9x^2+3(1-x^2)-2√3x+4=(-8√3x +3)sqrt(1-x^2)⇒-9x^2-3x^2-2√3x+7=(-8√3x +3)sqrt(1-x^2)⇒(-12x^2+7-2√3x)^2=(-8√3x +3)^2x^2(1-x^2)得x實數解，0.52352278392869517237,0.82070740188348413395θ=arcsinx=31.568850928691246092°,55.155670212047931384°應該是哪裡出錯了!我不太相信這個答案。
推算過程錯誤在 ∴(1-2sin^2θ+2√3sinθcosθ)/2=(√3 cosθ+sinθ)(sinθ+√3/2-p)/4 這個列式更正後答案應該呼之欲出，加油
啊!有時候分母沒有用括號整合起來，很容易看錯。算出來θ=arcsinx=60°或40°，60°不成三角形不合。所以是40度。
設內心I，解題策略應該是三角形ABP~三角形AQI。證明方法再想想好了。
40 度正解，這題應該有好幾種解法，相似三角形可以試看看。
http://pisa.math.ntnu.edu.tw/files/IMO/2001_cht_s.pdfhttp://www.sec.ntnu.edu.tw/Monthly/90(241-245)/243/57-62.pdf這是當年的競賽解析。沒想到起步竟然與我的方法相同!不過常常不用尺規把圖畫好，導致沒能看出「共線」的關鍵步驟。至少，又學到了一課!
你真會找資料，謝謝補充專家的解析，嗯，準確的作圖，有時確實會有意外的資訊可以利用。
三角形的邊角關係，此題是由邊求角，最直接是用反三角函數，不過我想應該沒有那麼狠，不然就是特殊角。
回覆刪除應該要用其他較簡單的性質，像是全等、相似、等腰三角形等。
目前想到的是，將BP以B為定點旋轉至AB射線上得BP'，BQ以Q為定點旋轉至AC射線上得QB'，連接P'B'，AP'B'就是正三角形。
就先不給提示，這題不簡單，加油。
刪除我決定嘗試看看用反三角函數，先求出答案。
回覆刪除Consider△ABQ
∠AQB=180°-60°-θ=120°-θ
AB/sin∠AQB=AQ/sin∠ABQ=BQ/sin∠BAQ (Law of sines)
⇒AB/sin(120°-θ)=AQ/sinθ=BQ/sin60°
⇒AB/sin[180°-(120°-θ)]=AQ/sinθ=2BQ/√3
⇒AB/sin(60°+θ)=AQ/sinθ=2BQ/√3
⇒AQ=ABsinθ/sin(60°+θ),BQ=√3AB/2sin(60°+θ) /*將AQ,BQ用AB表示。BP亦然。*/
Consider△ABQ
∠APB=180°-30°-2θ=150°-2θ
AB/sin(∠APB)=BP/sin30° /*題目沒有要用到AP。*/
⇒AB/sin(150°-2θ)=2BP
⇒AB/sin[180°-(150°-2θ)]=2BP
⇒AB/sin(30°+2θ)=2BP
⇒BP=AB/2sin(30°+2θ)
AB+BP=AQ+QB
⇒AB+AB/2sin(30°+2θ)=ABsinθ/sin(60°+θ)+√3AB/2sin(60°+θ)
⇒1+1/2sin(30°+2θ)=sinθ/sin(60°+θ)+√3/2sin(60°+θ) /*AB消去。*/
suppose p=sin(60°+θ),q=sin(30°+2θ)
⇒1+1/2q=sinθ/p+√3/2p
⇒p+p/2q=sinθ+√3/2
⇒p/2q=sinθ+√3/2-p
⇒q=p/2(sinθ+√3/2-p)
∵p=sin60°cosθ+cos60°sinθ=(√3 cosθ+sinθ)/2
q=sin30°cos2θ+cos30°sin2θ
=[(1-2sin^2θ)+√3(2sinθcosθ)]/2
=(1-2sin^2θ+2√3sinθcosθ)/2 (Angle sum identity & Double-angle formula)
∴(1-2sin^2θ+2√3sinθcosθ)/2=(√3 cosθ+sinθ)(sinθ+√3/2-p)/4
⇒2(1-2sin^2θ+2√3sinθcosθ)=(√3 cosθ+sinθ)(sinθ+√3/2-p) /*分母消去。*/
⇒2-4sin^2θ+4√3sinθcosθ=√3 sinθcosθ+3/2cosθ-√3 cosθp+sin^2θ+√3sinθ/2-sinθp
⇒2-5sin^2θ+3√3 sinθcosθ=3/2cosθ+√3sinθ/2-p(√3 cosθ+sinθ)
⇒2-5sin^2θ+3√3 sinθcosθ-3/2cosθ-√3sinθ/2=-(√3 cosθ+sinθ)^2/2 /*再次將p代入。*/
⇒2-5sin^2θ+3√3 sinθcosθ-3/2cosθ-√3sinθ/2=-(3cos^2θ+sin^2θ+2√3sinθcosθ)/2
⇒4-10sin^2θ+6√3 sinθcosθ-3cosθ-2√3sinθ=-3cos^2θ-sin^2θ-2√3sinθcosθ /*去分母拆括號整併*/
⇒4-9sin^2θ+3cos^2θ+8√3 sinθcosθ-3cosθ-2√3sinθ=0
⇒-9sin^2θ+3cos^2θ-2√3sinθ+4=(-8√3sinθ+3)cosθ /*將有cosθ的移到另一邊*/
suppose x=sinθ
⇒-9x^2+3(1-x^2)-2√3x+4=(-8√3x +3)sqrt(1-x^2)
⇒-9x^2-3x^2-2√3x+7=(-8√3x +3)sqrt(1-x^2)
⇒(-12x^2+7-2√3x)^2=(-8√3x +3)^2x^2(1-x^2)
得x實數解，0.52352278392869517237,0.82070740188348413395
θ=arcsinx=31.568850928691246092°,55.155670212047931384°
應該是哪裡出錯了!我不太相信這個答案。
推算過程錯誤在 ∴(1-2sin^2θ+2√3sinθcosθ)/2=(√3 cosθ+sinθ)(sinθ+√3/2-p)/4 這個列式
刪除更正後答案應該呼之欲出，加油
啊!有時候分母沒有用括號整合起來，很容易看錯。
刪除算出來θ=arcsinx=60°或40°，60°不成三角形不合。
所以是40度。
設內心I，解題策略應該是
刪除三角形ABP~三角形AQI。證明方法再想想好了。
40 度正解，這題應該有好幾種解法，相似三角形可以試看看。
刪除http://pisa.math.ntnu.edu.tw/files/IMO/2001_cht_s.pdf
回覆刪除http://www.sec.ntnu.edu.tw/Monthly/90(241-245)/243/57-62.pdf
這是當年的競賽解析。沒想到起步竟然與我的方法相同!不過常常不用尺規把圖畫好，導致沒能看出「共線」的關鍵步驟。至少，又學到了一課!
你真會找資料，謝謝補充專家的解析，嗯，準確的作圖，有時確實會有意外的資訊可以利用。
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