訓練數學感 138 ─ 挑球期望值

有十二顆大小重量一致的球，從 1 編號到 12 號，有四個人，遊戲前每個人先在紙上秘密寫下三個號碼，然後每回合所有的人可以從球池中字由挑選一顆球出來 (可以清楚看見球號)，不選也可以，每個人拿到三顆球後就不能拿，直到球都被拿光為止。

然後依據下列規則計分：

1. 取得非指定號碼球，並且沒人點名，該號碼球有 1 分
2. 取得非指定號碼球，並且有人點名，該號碼球有 5 分
3. 取得指定號碼球，並且沒人點名，該號碼球有 3 分
4. 取得指定號碼球，但是有人點名，該號碼球有 2 分

另外，個人蒐集到秘密指定號碼球越多，分數就越高
集到兩個指定號碼球，再加 2 分
集到三個指定號碼球，再加 6 分

請估計這個遊戲，玩家的期望分數為何?

這問題，是在設計桌遊過程中想到的，有興趣的人研究看看。